传递矩阵法原理

本章按“界面定律 -> 层内传播 -> 全栈矩阵”的顺序说明 TMM，并把关键方程对应到软件结果页。

本章范围

斯涅耳定律与角度传播

介质 (i) 与 (j) 的平面界面满足

在多层膜中，该关系会在每个界面连续应用。因此，Incident Angle 一项输入会决定整个层系的内部传播角状态。

*

菲涅尔公式与界面振幅系数

在非磁介质条件下，界面切向场连续可得到

$$r_s = \frac{n_i \cos\theta_i - n_j \cos\theta_j}{n_i \cos\theta_i + n_j \cos\theta_j}, \qquad t_s = \frac{2 n_i \cos\theta_i}{n_i \cos\theta_i + n_j \cos\theta_j},$$$$r_p = \frac{n_j \cos\theta_i - n_i \cos\theta_j}{n_j \cos\theta_i + n_i \cos\theta_j}, \qquad t_p = \frac{2 n_i \cos\theta_i}{n_j \cos\theta_i + n_i \cos\theta_j}.$$

功率量由振幅换算为

$$R = |r|^2,\qquad T = \Re\!\left(\frac{n_j \cos\theta_j}{n_i \cos\theta_i}\right)|t|^2,\qquad A = 1 - R - T .$$

*来源：Wikimedia Commons，"Fresnel equations - reflectance.svg"。原始文件页面：*

单层传播的相位累计

厚度为 (d) 的单层，其相位厚度为

$$\delta = k_0 n d \cos\theta,\qquad k_0 = \frac{2\pi}{\lambda}.$$

该相位项直接决定干涉条纹与共振位置对厚度、波长和入射角的响应。

多层传递矩阵的统一表达

全栈传递矩阵可写为

$$\mathbf{M}_{\text{total}} = \mathbf{M}_{01}\mathbf{P}_1\mathbf{M}_{12}\mathbf{P}_2\cdots\mathbf{M}_{N,N+1}.$$

其中单层传播矩阵常写作

$$\mathbf{P}_\ell= \begin{bmatrix} e^{i\delta_\ell} & 0\\ 0 & e^{-i\delta_\ell} \end{bmatrix}.$$

由总矩阵可解出 (r)、(t)，再换算出全部功率与相位相关观测量。

与软件结果页的对应关系

结果页	物理来源	解读重点
Reflection	R = P_ref / P_inc（反射功率占入射功率比例）	回返功率占比与高反射带行为
Transmission	T = P_tr / P_inc（透射功率占入射功率比例，含介质与角度修正）	透过功率占比与耦合效率
Absorption	1 - R - T	总耗散比例
Layer Absorption	按层分解吸收	主要损耗层定位
Ellipsometry	rho = r_p / r_s = tan(Psi) * exp(iDelta)	偏振相位与振幅差异
Depth Distribution	厚度方向场解	场峰值、节点与吸收热点

外部权威参考

• Fresnel equations（RP Photonics）
• Fresnel equations（Wikipedia）
• Snell's law（Wikipedia）
• Transfer-matrix method (optics)（Wikipedia）

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建议继续阅读 光学概念 与 结构配置。