原理

偶极子模型和适用条件

平面发光器件的点偶极子、分子取向、空间分布与模型边界

OLED 发光层里没有一盏盏朝各方向均匀发光的小灯。每个跃迁偶极都有自己的轴向，沿偶极轴没有远场辐射，垂直于偶极轴的方向最强。

平面发光仿真把分子、量子点或钙钛矿发光中心等效为振荡电偶极子，再按取向、位置和空间分布组合成发光层。本篇定义这个源模型，并列出它能够代表真实器件的条件。

点偶极子的辐射方向

当发光中心的空间尺度远小于波长时，其最低阶辐射可用电偶极矩 $\mathbf p$ 表示。自由空间中，单位立体角内的远场功率满足

\frac{1}{P}\frac{\mathrm dP}{\mathrm d\Omega} =\frac{3}{8\pi}\sin^2\alpha,

其中， $P$ 是偶极子的总辐射功率， $\mathrm dP/\mathrm d\Omega$ 是单位立体角内的功率， $\Omega$ 是立体角， $\alpha$ 是观察方向与偶极轴之间的夹角。 $\alpha=0$ 时辐射为零， $\alpha=90^\circ$ 时最强。

振荡电偶极子的电磁场和辐射方向动画 — 图 1｜振荡电偶极子的辐射并非各方向相同：偶极轴方向没有远场辐射，垂直于偶极轴的方向最强。Loodog / Wikimedia Commons CC BY-SA 3.0

水平偶极子与竖直偶极子的远场辐射方向图及逃逸锥 — 图 2｜水平偶极子把较多功率送往器件法线方向；竖直偶极子的功率主要分布在大角度。红色虚线表示一个示意逃逸锥。

在平面器件中，“水平”表示偶极矩平行于膜层界面，“竖直”表示偶极矩沿膜层法线。水平偶极在法线附近有较强辐射，更容易进入逃逸锥。对每个传播方向，波矢与膜层法线构成入射面：TE 分量的电场垂直于该平面，TM 分量的电场位于该平面内。竖直偶极在法线方向没有远场辐射，并且只产生 TM 分量，因此更容易耦合到大角度波导态和表面等离激元（SPP）——一种束缚在金属—介质界面的 TM 模式。

几何逃逸锥近似

图 2 的逃逸锥可以给出一个只考虑传播方向的效率近似。发光层折射率为 $n_{\mathrm{EML}}$ 、外部介质折射率为 $n_{\mathrm{out}}$ 时，临界角为

\theta_c=\arcsin\left(\frac{n_{\mathrm{out}}}{n_{\mathrm{EML}}}\right).

式中， $\theta_c$ 相对膜层法线测量，并要求 $n_{\mathrm{EML}}>n_{\mathrm{out}}$ 。用 $\theta$ 表示辐射方向与膜层法线的夹角，并对方位角积分后，水平与竖直偶极的归一化角功率分布分别为

g_h(\theta)=\frac{3}{8}\left(1+\cos^2\theta\right)\sin\theta, \qquad g_v(\theta)=\frac{3}{4}\sin^3\theta.

其中， $g_h(\theta)\,\mathrm d\theta$ 和 $g_v(\theta)\,\mathrm d\theta$ 分别表示水平或竖直偶极辐射到 $\theta$ 至 $\theta+\mathrm d\theta$ 角区间的总功率比例，并且在 $0\le\theta\le\pi$ 上的积分均为 1。积分到器件上方的单侧逃逸锥，可得

f_h^{+} =\int_0^{\theta_c}g_h(\theta)\,\mathrm d\theta =\frac{1}{8}\left(4-\cos^3\theta_c-3\cos\theta_c\right),

f_v^{+} =\int_0^{\theta_c}g_v(\theta)\,\mathrm d\theta =\frac{1}{4}\left(2+\cos^3\theta_c-3\cos\theta_c\right).

$f_h^{+}$ 和 $f_v^{+}$ 是总辐射功率中直接进入上方逃逸锥的比例。图 3 进一步假设器件背面是无相位损失、无吸收的理想反射镜，向下辐射的同一份功率全部转向上方，因此几何出光效率为

\eta_h^{\mathrm{geo}} =\frac{1}{4}\left(4-\cos^3\theta_c-3\cos\theta_c\right),

\eta_v^{\mathrm{geo}} =\frac{1}{2}\left(2+\cos^3\theta_c-3\cos\theta_c\right).

其中， $\eta_h^{\mathrm{geo}}=2f_h^{+}$ 和 $\eta_v^{\mathrm{geo}}=2f_v^{+}$ 分别是该几何模型给出的水平与竖直偶极出光效率（Light Extraction Efficiency, LEE）；上标 $\mathrm{geo}$ 表示几何近似。没有理想背反射镜时，上述结果各减半。各向同性取向含 $2/3$ 水平自由度和 $1/3$ 竖直自由度，因此

\eta_{\mathrm{iso}}^{\mathrm{geo}} =\frac{2}{3}\eta_h^{\mathrm{geo}} +\frac{1}{3}\eta_v^{\mathrm{geo}}.

把前两式代入后，各向同性结果可化简为

\eta_{\mathrm{iso}}^{\mathrm{geo}} =1-\cos\theta_c =1-\sqrt{1-\left(\frac{n_{\mathrm{out}}}{n_{\mathrm{EML}}}\right)^2}.

当 $n_{\mathrm{out}}/n_{\mathrm{EML}}$ 较小时，对根式作一阶展开可得

\eta_{1/(2n^2)}^{\mathrm{geo}} \approx\frac{1}{2}\left(\frac{n_{\mathrm{out}}}{n_{\mathrm{EML}}}\right)^2.

外部介质为空气时 $n_{\mathrm{out}}\approx1$ ，即得到图中的蓝色实线 $1/(2n_{\mathrm{EML}}^2)$ 。它是各向同性几何结果的近似，并非另一套发光定律。当 $n_{\mathrm{EML}}=1.57$ 时，水平、竖直、各向同性精确结果和 $1/(2n^2)$ 近似分别约为 $30.7\%$ 、 $7.3\%$ 、 $22.9\%$ 和 $20.3\%$ 。取向曲线之间的差异来自偶极方向图；共同的下降趋势来自折射率升高后逃逸锥缩小。

几何逃逸锥模型中水平、竖直和各向同性偶极子的出光效率随发光层折射率变化 — 图 3｜把均匀介质中的偶极方向图积分到逃逸锥得到的几何近似。曲线用于解释取向与折射率趋势，不是实际 OLED 的定量模型。

OLED 的波动光学模型

实际 OLED 同时打破了上述几何模型的假设：膜层厚度与波长同量级，反射带有波长相关的振幅和相位；电极及功能层会吸收；逃逸锥外存在波导与 SPP；反射场还会返回偶极位置并改变总电磁衰减速率，即 Purcell 效应。

Dreapex TMM 将取向为 $o$ 的偶极场分解到归一化面内波矢 $u$ ，并在完整层系中计算每个分量的复振幅。若功率以均匀参考环境中的总辐射功率归一化，总电磁耗散和目标出光效率分别写成

F_o(\lambda,z) =\int_0^\infty K_{o,\mathrm{tot}}(u;\lambda,z)\,\mathrm du,

\eta_{\mathrm{out},o}(\lambda,z) =\frac{\displaystyle\int_{\mathcal U_{\mathrm{out}}} K_{o,\mathrm{out}}(u;\lambda,z)\,\mathrm du} {F_o(\lambda,z)}.

式中， $o\in\{h,v\}$ 表示水平或竖直取向； $\lambda$ 是真空波长； $z$ 是偶极在发光层中的位置； $u=k_{\parallel}/(n_{\mathrm{EML}}k_0)$ ，其中 $k_{\parallel}$ 是面内波矢， $k_0=2\pi/\lambda$ 是真空波数； $K_{o,\mathrm{tot}}$ 是单位 $u$ 区间内的归一化总耗散功率， $K_{o,\mathrm{out}}$ 是经过完整层系透射并越过目标外部边界的功率密度； $F_o$ 是该取向的 Purcell 因子，即总电磁衰减相对均匀参考环境的变化； $\mathcal U_{\mathrm{out}}$ 是目标外部介质光锥对应的积分区间； $\eta_{\mathrm{out},o}$ 是已进入电磁通道的功率中真正越过目标外部边界的比例。

两种功率密度都由同一个层状偶极场得到，其中包含微腔干涉、界面的 Fresnel 反射与透射、材料吸收、波导和 SPP。 $F_o$ 也不再固定为 1，说明层状环境不仅重新分配能量，还会改变偶极的总衰减速率。因此，图 3 的曲线缺少 $\lambda$ 、 $z$ 、膜厚、复折射率和反射相位，不能用于 OLED 的定量建模。

图 3 只用于建立“水平取向通常更利于出光”的第一层直觉。OLED 的 LEE、光学模与 Purcell 因子应以完整层状偶极模型的波矢积分结果为准。

取向分布

各向同性取向包含两个彼此正交的水平自由度和一个竖直自由度，因此其功率密度为

K_{\mathrm{iso}}=\frac{2}{3}K_h+\frac{1}{3}K_v.

式中， $K_{\mathrm{iso}}$ 是各向同性偶极集合的功率密度， $K_h$ 是水平偶极的平均功率密度， $K_v$ 是竖直偶极的功率密度。权重 $2/3$ 与 $1/3$ 来自三维取向自由度，不表示每个分子同时具有三根偶极轴。

用竖直偶极占比 $a$ 表示任意单轴取向分布时，

K(a)=(1-a)K_h+aK_v,\qquad 0\le a\le1.

其中， $K(a)$ 是该取向集合的功率密度； $a=0$ 为全水平， $a=1$ 为全竖直， $a=1/3$ 与各向同性取向等价。OLED 中常说的“水平偶极比例”是 $1-a$ 。分子形状、基底温度和沉积动力学都可能改变这一比例。

发光位置与空间分布

同一取向的偶极子放在发光层不同深度，也会看到不同的反射相位和近场环境。单点位置适合窄复合区；较宽的复合区需要用归一化分布 $\rho(z)$ 表示：

\int_{z_1}^{z_2}\rho(z)\,\mathrm dz=1, \qquad \langle X\rangle=\int_{z_1}^{z_2}\rho(z)X(z)\,\mathrm dz.

式中， $z_1$ 和 $z_2$ 是发光层上下边界， $\rho(z)$ 是偶极子在厚度方向上的概率密度， $X(z)$ 是位置 $z$ 处的目标通道功率、 $F_o$ 或其他单偶极结果， $\langle X\rangle$ 是空间平均结果。单点、指数、高斯和自定义文件只是 $\rho(z)$ 的不同表达。

靠近反射镜会改变干涉相位，靠近金属还会显著增强倏逝耦合。因此“发光层厚度”不足以完全定义发光源，复合区在层内的位置同样重要。

模型适用条件

条件	模型中的含义	条件不满足时的后果
发光中心可视为点偶极子	发光中心尺寸及电荷分离尺度远小于波长	需要更高阶多极矩或非局域源模型
膜层横向均匀且远大于波长	折射率只随厚度方向变化，边缘不参与求解	像素边缘、图形化电极与散射结构需要二维或三维模型
界面平整且层间过渡清晰	每个面内波矢在全栈守恒	粗糙散射会把不同面内波矢混合
发光层相干且透明	发光层的消光系数为零，不计算自身重吸收	发射—吸收谱重叠明显时会低估重吸收与再发射
材料线性、无光学增益且近似非磁	使用与场强无关的复折射率，磁导率取 1	强激光、增益介质或磁光材料需要扩展模型
各向异性为法线方向光轴的单轴材料	面内保持旋转对称，可分别处理普通光与非普通光响应	倾斜光轴、面内取向或双轴材料超出该模型
出光侧外部介质透明	外部光锥和顶部出光通道具有明确物理意义	吸收性外边界不能定义为出光通道

有限厚金属和其他吸收层可以位于器件内部，能量会被计入吸收或倏逝通道。底部外部介质透明时可以形成底部出光通道；底部边界吸收时，该通道为零。

点偶极子模型描述发光中心与层状电磁环境的耦合，不包含分子间 Förster 转移、激子扩散、三重态—三重态湮灭、极化子猝灭或发光层重吸收。这些过程显著时，应先由电学或激子模型给出实际复合分布和本征量子效率；本征量子效率是均匀参考环境中，激子进入电磁衰减通道的比例。随后再进行光学计算。

下一步

继续阅读微腔效应，了解反射界面如何把同一偶极源改造成不同的光谱、颜色和角分布。

参考

Novotny, L.; Hecht, B. Principles of Nano-Optics. Cambridge University Press, 2012.
Griffiths, D. J. Introduction to Electrodynamics, 4th ed.; 2021.
Marcato, T.; Shih, C. J. Molecular Orientation Effects in Organic Light-Emitting Diodes. Helv. Chim. Acta 2019, 102. https://doi.org/10.1002/hlca.201900048
Wasey, J. A. E.; Barnes, W. L. Efficiency of Spontaneous Emission from Planar Microcavities. J. Mod. Opt. 2000, 47, 725–741.
Yokoyama, D. Molecular Orientation in Small-Molecule Organic Light-Emitting Diodes. J. Mater. Chem. 2011, 21, 19187–19202.
Chance, R. R.; Prock, A.; Silbey, R. Molecular Fluorescence and Energy Transfer near Interfaces. Adv. Chem. Phys. 1978, 37, 1–65.

OLED 出光效率

材料量子产率、器件 EQE 与经典出光极限之间的关系

微腔效应

微腔对发光光谱、颜色、角分布、朗伯特性与效率的影响