膜厚偏差会怎样改变滤光片：Fabry–Pérot 灵敏度分析

Fabry–Pérot 腔厚扫描：峰位、线宽与制造公差

窄带滤光片的腔层只偏差几纳米，透射峰就可能离开目标波长。这篇教程扫描 Fabry–Pérot 腔厚，量化峰位、半高全宽和 Q 因子的变化，并把光谱容差换算为膜厚公差。

本篇只改变中间 MgF₂ 腔层厚度。两面 DBR、材料折射率、入射角和波长采样全部固定，使峰位变化可以明确归因于腔厚。

腔层和镜面共同决定峰位

法向入射时，腔内往返一周的相位条件为

\Phi(\lambda,d_c) =\frac{4\pi n_cd_c}{\lambda} +\phi_f(\lambda)+\phi_b(\lambda) =2\pi m.

式中， $\Phi$ 为一周总相位， $\lambda$ 为真空波长， $n_c$ 和 $d_c$ 分别为腔层折射率和物理厚度， $\phi_f$ 、 $\phi_b$ 为前后 DBR 的反射相位， $m$ 为正整数谐振级次。相位以弧度表示， $\lambda$ 与 $d_c$ 使用相同长度单位。

忽略两面 DBR 的反射相位时，一级谐振可简化为

\lambda_{\mathrm{simple}}=2n_cd_c.

半波关系适合估算初始腔厚，也能预测“腔越厚，峰越向长波移动”。但 DBR 的反射相位随波长变化，实际灵敏度必须由完整膜系计算。

沿用 550 nm Fabry–Pérot 滤光片：

前镜和后镜的周期层序互为镜像。分别打开两个 Edit Group，确认 Repeat Count 都为 4。

扫描期间不要修改 DBR 的层序、厚度或重复次数。镜面变化也会改变反射相位，使结果不再只表示腔厚灵敏度。

在 Optics 中设置 450–700 nm、0.25 nm 步长、0° 入射、未偏振光，并启用 Reflectance、Transmittance 和 Absorptance。

名义腔厚 199.28 nm 时，透射峰位于 550.00 nm，峰值透射率为 95.742%，半高全宽为 3.623 nm。1 nm 步长只能在峰宽内留下三到四个采样点，不足以可靠测量半高交点。

半高全宽（full width at half maximum，FWHM）和品质因子定义为

\Delta\lambda=\lambda_R-\lambda_L, \qquad Q=\frac{\lambda_{\mathrm{peak}}}{\Delta\lambda}.

式中， $\lambda_L$ 和 $\lambda_R$ 为透射率下降到峰值一半时的左右交点波长， $\Delta\lambda$ 为 FWHM， $\lambda_{\mathrm{peak}}$ 为峰值波长， $Q$ 为无量纲品质因子。

在 Sweep 中选择 MgF2 Cavity → Thickness，从 190 nm 扫描到 210 nm，步长 5 nm。

运行前先预测：腔厚增加时透射峰应向长波移动；若 DBR 反射相位不可忽略，实际斜率会偏离简单估算值

2n_c

。

运行扫描后，在 Transmittance 中比较五条曲线，并在 500–600 nm 内跟踪同一个腔模。

腔厚	半波公式预测	仿真峰位	峰值 $T$	FWHM	Q
190 nm	524.39 nm	538.50 nm	95.514%	3.602 nm	149.5
195 nm	538.19 nm	544.75 nm	95.764%	3.596 nm	151.5
200 nm	551.99 nm	551.00 nm	95.355%	3.643 nm	151.2
205 nm	565.79 nm	557.00 nm	95.764%	3.686 nm	151.1
210 nm	579.59 nm	563.25 nm	95.642%	3.769 nm	149.4

腔厚增加 20 nm 后，透射峰向长波移动了 24.75 nm；峰值仍约为 95.4%–95.8%，FWHM 保持在 3.60–3.77 nm。这个范围内，腔厚主要移动峰位，没有显著破坏透射峰。

全部扫描结果的最大能量闭合误差小于 $1.0\times10^{-14}$ 。

对五个仿真点做线性拟合，得到当前设计附近的局部灵敏度

S=\frac{\mathrm{d}\lambda_{\mathrm{peak}}}{\mathrm{d}d_c} \approx1.235\ \frac{\mathrm{nm}}{\mathrm{nm}}.

式中， $S$ 为峰位对腔厚的局部灵敏度， $\mathrm{d}\lambda_{\mathrm{peak}}$ 和 $\mathrm{d}d_c$ 分别为峰位与腔厚的微小变化。腔厚变化 1 nm，峰位在本设计附近约移动 1.24 nm。

半波公式给出的 $S_{\mathrm{simple}}=2n_c=2.760\ \mathrm{nm}/\mathrm{nm}$ 高出一倍以上，原因是它忽略了 DBR 的反射相位与等效穿透深度。

若峰位允许偏差为 $\Delta\lambda_{\mathrm{allow}}$ ，可估算腔厚偏差：

|\Delta d_c|\leq\frac{\Delta\lambda_{\mathrm{allow}}}{S}.

式中， $\Delta d_c$ 为腔厚偏差， $\Delta\lambda_{\mathrm{allow}}$ 为允许的峰位偏差， $S$ 为上述局部灵敏度。

这是一项确定性的单参数灵敏度分析，不是随机误差或成品率计算。改变 DBR 周期数、材料、入射角或工作波长后，需要重新扫描并拟合 $S$ 。

名义设计命中 550 nm 只是第一步。可制造的滤光片还要把光谱规格转换成厚度规格，并确认沉积过程能够满足它。

把腔厚扫描改为 195–203 nm、步长 1 nm，其他设置不变。重新拟合名义厚度附近的 $S$ ，比较细扫结果与本篇五点拟合的 1.235 nm/nm 是否一致。