用透明材料做镜子：设计 99% DBR 高反镜

透明材料也能做出反射率超过 99% 的镜子。分布式布拉格反射镜（Distributed Bragg Reflector，DBR）由高、低折射率透明层交替堆叠而成，各界面的反射光在设计波长附近同相叠加，形成高反射阻带。DBR 常用于激光腔镜、窄带滤光片和光学谐振腔。

本篇用 MgF₂/TiO₂ 周期层搭建一面五对 DBR。你将学会计算四分之一波厚度、用 Layer Group 建立周期结构，并通过反射光谱和周期数比较验证设计。

DBR 的工作原理

下图用两种折射率 $n_1$、$n_2$ 交替的透明层表示介质镜。入射光在每个界面都会产生一束较弱的反射光；层厚选得合适时，这些反射光以相同相位返回并相互增强。

原图与许可说明

四分之一波周期

设计波长仍取 $\lambda_0=550\ \mathrm{nm}$。每层的四分之一波物理厚度为

式中，$d_i$ 为第 $i$ 种材料的物理厚度，$n_i$ 为该材料折射率，$\lambda_0$ 为真空设计波长。代入 $n_H=2.45$ 和 $n_L=1.38$，得到高折射率 TiO₂ 层 $d_H=56.12\ \mathrm{nm}$、低折射率 MgF₂ 层 $d_L=99.64\ \mathrm{nm}$。

从空气侧开始使用 $(HL)^N$ 层序，即「TiO₂ / MgF₂」重复 $N$ 次。在设计波长处，每个界面的主要反射分量以近似相同相位返回。理想四分之一波中心反射率可写为

式中，$R_0$ 为 $\lambda_0$ 处的功率反射率，$n_0$ 为空气折射率，$n_s$ 为玻璃基底折射率，$n_H$、$n_L$ 分别为高、低折射率材料的折射率，$N$ 为周期对数。折射率比 $n_H/n_L$ 大于 1，指数 $2N$ 使反射率随周期数快速接近 1。

建立五对 DBR

在 Structure 页添加一个 Layer Group，组内先放 56.12 nm TiO₂，再放 99.64 nm MgF₂，并把 Repeat Count 设为 5。层组下方使用 1 mm 非相干玻璃基底，底部介质折射率设为 1.52。

点击 Edit Group 打开周期单元，确认组内第一层为 56.12 nm TiO₂、第二层为 99.64 nm MgF₂，Repeat Count 为 5。

Layer Group 让周期单元只输入一次。后续比较 $N=1$ 到 $N=5$ 时，只需修改 Repeat Count，无需手工复制和删除十层结构。

在 Optics 页设置 400–900 nm、1 nm 步长、0° 入射、未偏振光，并启用 Reflectance 与 Transmittance。较宽的波长范围可以同时看见中心高反射带与两侧透射区。

运行前可以先作出预测：五对结构应在 550 nm 附近形成连续的高反射波段；从四对增加到五对仍会提高中心反射率，但增量会小于前几次增加周期。

运行与判断高反射带

五对结构在 550 nm 的反射率为 99.158%。以 $R\ge99\%$ 为本教程的高反射判据，连续高反射带为 523–580 nm。设计波长位于该带内部，但阻带的形状并不要求相对 550 nm 完全对称，因为入射介质和玻璃基底的折射率不同。

透射率在同一波段下降。材料均无吸收，因此每个波长都应满足 $R+T=1$；本次计算的最大数值误差约为 $4.7\times10^{-15}$。

改变周期数

把 Repeat Count 依次改为 1、2、3、4、5，每次运行后记录 550 nm 反射率。其他设置必须保持不变，这样曲线变化才能归因于周期数。

动画展示了交替介质层逐层增加时，透射阻带和膜内电场如何逐渐形成。上图是透射率，下图是电场幅值；层数越多，低透射波段越明显。

原始动画与许可说明

结果体现两个设计规律：增加周期数会显著提高中心反射率，但收益逐步减小；高反射率还不等于高反射带足够宽，器件规格必须同时给出反射率阈值和波长范围。

变化题

只把 Repeat Count 从 5 改为 6，其他参数保持不变。先估计 550 nm 反射率还能提高多少，再记录新的中心反射率和 $R\ge99\%$ 波段，判断增加两层是否带来同等幅度的收益。

实际 DBR 还需要用色散数据检查阻带中心漂移，并评估入射角、偏振和膜厚误差。

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