把蓝绿光和红光分开：设计 45° 二向色分光镜

45° 二向色分光镜：双波段优化与偏振验收

在荧光成像、投影和多波段测量中，经常需要让 45° 入射的蓝绿光转向，同时让红光继续前进。二向色分光镜是由多层透明薄膜组成的分光元件：它利用干涉选择性地反射一段波长、透过另一段波长，而不是靠吸收丢掉其中一束光。

本教程将设计一片反射 450–520 nm 蓝绿光、透过 620–700 nm 红光的二向色分光镜。你将建立周期膜系，设置 45° 入射和双波段优化目标，并分别验收未偏振、s 偏振和 p 偏振结果。

波段	目标	验收量
450–520 nm	反射蓝绿光	平均反射率尽量高
521–619 nm	允许光谱转换	不设置目标
620–700 nm	透过红光	平均透射率尽量高

斜入射改变光学厚度

45° 入射后，光在每层中的传播方向都会改变。相邻界面反射的光波经过不同的传播距离并再次叠加，因此法向入射下有效的膜厚不能直接照搬到斜入射设计。

45 度二向色滤光片反射蓝光并透射红光的光路 — 图 1｜45° 二向色滤光片将蓝光与红光分向Eric Magnan / Wikimedia Commons CC BY-SA 3.0

图中左侧为二向色膜，右侧为减反膜；蓝光被反射，红光穿过基底。

光进入第 $i$ 层后的传播角由斯涅尔定律决定：

n_0\sin\theta_0=n_i\sin\theta_i .

式中， $n_0$ 与 $n_i$ 分别为入射介质和第 $i$ 层的折射率， $\theta_0$ 为外部入射角， $\theta_i$ 为层内折射角，角度均相对于法线测量。该层的单程相位厚度为

\delta_i=\frac{2\pi n_i d_i\cos\theta_i}{\lambda} .

式中， $\delta_i$ 为相位厚度， $d_i$ 为物理厚度， $\lambda$ 为真空波长，其余符号同上。入射角增大时， $\cos\theta_i$ 改变，原本在法向入射下的四分之一波条件会漂移；同时 s、p 偏振具有不同的界面反射系数，因此 45° 设计必须分别检查两种偏振。

从六对周期结构开始

初始结构记为 $(HL)^6$ ：高折射率层 H 为 56 nm TiO₂，低折射率层 L 为 100 nm MgF₂，整个周期重复六次，下方为 1 mm 非相干玻璃基底。只把两种周期厚度作为共享变量，可以先学习目标之间的取舍，而不必同时管理十二个独立厚度。

共享变量	初始值	允许范围
TiO₂ 高折射率层	56 nm	25–80 nm
MgF₂ 低折射率层	100 nm	70–140 nm

先用 56/100 nm 初始厚度建立层组，并把 Repeat Count 设为 6。打开 Edit Group，核对层序、厚度和重复次数。

45 度二向色分光镜的初始 Structure 页面，显示六对 TiO2 MgF2 周期和玻璃基底 — 图 2｜六对二向色周期的初始结构

二向色分光镜的 Edit Layer Group 对话框，显示六次重复的初始 TiO2 MgF2 周期、厚度与折射率 — 图 3｜初始 TiO₂/MgF₂ 周期单元

在 Optics 页设置 400–750 nm、1 nm 步长、45° 入射和未偏振光。软件用 p 偏振占比 pRatio 表示偏振混合：0 为纯 s，1 为纯 p，0.5 为 s/p 等权平均。本次先用 0.5 评估未偏振性能，并启用 Reflectance 与 Transmittance。

二向色分光镜的 Optics 页面，显示 400 到 750 nm、45 度入射和未偏振设置 — 图 4｜45° 二向色分光镜的 Optics 设置

运行前先预测：初始四分之一波周期会强烈反射蓝绿光，但 45° 斜入射下的红光透射可能不足；双波段优化需要在两项性能之间重新分配余量。

先运行初始结构

初始 56/100 nm 结构的 450–520 nm 平均反射率为 99.084%，620–700 nm 平均透射率只有 59.676%。蓝绿反射已经很高，红光透射才是当前设计的主要缺口。

初始六对二向色膜系的真实 Reflectance 结果，显示蓝绿高反射带和红光区域的残余反射 — 图 5｜初始结构强烈反射蓝绿光，但红光区域仍有明显反射

把规格写成两个目标

在 Optimizer 中加入两个等权目标：

450–520 nm、5 nm 步长、45°、未偏振条件下，最大化平均 Reflectance；
620–700 nm、5 nm 步长、45°、未偏振条件下，最大化平均 Transmittance。

两个目标必须使用相同角度与偏振定义。否则优化器会同时处理两套不同使用条件，得到的折中结果无法对应实际器件。

二向色分光镜 Optimizer 页面，显示蓝绿反射和红光透射目标以及两种共享厚度变量 — 图 6｜Optimizer 中的双波段目标与共享厚度变量

算法选择 Nelder–Mead，最大计算次数设为 280，初始单纯形比例设为 0.08。本次真实优化在 102 次目标计算后收敛。报告中的 5 nm 采样平均值为蓝绿反射 91.508%、红光透射 90.678%；应用最优厚度后，再用 1 nm 步长完成最终验收。

二向色分光镜的 Nelder-Mead 算法设置和计算预算 — 图 7｜二向色优化的 Nelder–Mead 算法设置

优化结束后点击 Apply to Structure，返回 Structure 页确认层组中的两种厚度已更新，同时保持 Repeat Count 为 6。

45 度二向色分光镜的 Structure 页面，显示六对 TiO2 MgF2 周期和优化后的共享厚度 — 图 8｜应用最优解后的六对二向色结构

点击 Edit Group，确认 Repeat Count 为 6，组内第一层为 25.000 nm TiO₂、第二层为 137.618 nm MgF₂。

二向色分光镜的 Edit Layer Group 对话框，显示六次重复的优化 TiO2 MgF2 周期、厚度与折射率 — 图 9｜优化后的 TiO₂/MgF₂ 周期单元

未偏振结果

1 nm 正向计算得到 450–520 nm 平均反射率 91.824%，该波段最低值为 75.787%，位于 520 nm；620–700 nm 平均透射率为 90.915%，最低值为 76.209%，位于 620 nm。两个最低值都落在过渡区边缘，符合光谱从反射带向透射带转换的形状。

45 度二向色分光镜的未偏振反射率结果页，显示蓝绿高反射区 — 图 10｜45° 未偏振条件下的 Reflectance 结果

45 度二向色分光镜的未偏振透射率结果页，显示红光高透射区 — 图 11｜45° 未偏振条件下的 Transmittance 结果

优化器牺牲一部分蓝绿反射余量，换取显著更高的红光透射率。

二向色分光镜优化前后蓝绿平均反射率和红光平均透射率的对比 — 图 12｜优化前后的双波段平均性能

设计	平均 $R$ ，450–520 nm	平均 $T$ ，620–700 nm	$R(500\ \mathrm{nm})$	$T(650\ \mathrm{nm})$
初始 56/100 nm	99.084%	59.676%	—	—
最优 25.000/137.618 nm	91.824%	90.915%	90.052%	89.245%

分别验收 s 与 p 偏振

未偏振平均值可能掩盖两种偏振的差异。保持结构、波长和 45° 入射角不变，把 pRatio 分别改为 0 和 1，再各运行一次。

先把 pRatio 设为 0，确认界面显示 s 偏振 100%，运行后读取反射率曲线。

二向色分光镜的 Optics 页面，显示 45 度入射和 pRatio 等于 0 的纯 s 偏振设置 — 图 13｜纯 s 偏振的光学设置

优化后二向色分光镜在 45 度纯 s 偏振下的真实 Reflectance 结果 — 图 14｜纯 s 偏振保持较高的蓝绿反射

再把 pRatio 设为 1，确认界面显示 p 偏振 100%，重新运行同一结构。

二向色分光镜的 Optics 页面，显示 45 度入射和 pRatio 等于 1 的纯 p 偏振设置 — 图 15｜纯 p 偏振的光学设置

优化后二向色分光镜在 45 度纯 p 偏振下的真实 Reflectance 结果 — 图 16｜纯 p 偏振在蓝绿波段边缘明显变弱

偏振	平均 $R$ ，450–520 nm	波段最低 $R$	平均 $T$ ，620–700 nm
s	98.820%	96.568%	84.763%
p	84.828%	55.005%	97.067%
未偏振平均	91.824%	75.787%	90.915%

该结果满足本教程的未偏振平均目标，但它不是非偏振分光镜。p 偏振在蓝绿波段边缘明显变弱，s 偏振的红光透射也低于未偏振平均值。若应用要求任意偏振都满足同一阈值，应把 s 与 p 分别写成优化目标，并允许更多独立膜厚变量。

TiO₂ 最优厚度达到 25 nm 下限。本文只记录这一结果；变量边界、层数和总厚度的取舍见层数越多越好吗。

变化题

保持优化后结构不变，只把入射角从 45° 改为 55°。先预测过渡波段和 s/p 差异的变化，再分别运行未偏振、纯 s 与纯 p；记录哪个验收指标最先失效。

工程化时，应使用真实 n、k 色散、目标基底、沉积误差和实际光束角度分布重新计算全部验收指标。

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