把蓝绿光和红光分开：设计 45° 二向色分光镜

把蓝绿反射和红光透射写成两个优化目标，完成 45° 二向色分光镜的建模、优化与偏振验收

这篇教程把学习重点从法向入射扩展到 45° 分光：在蓝绿波段反射、红光波段透射，并分别检查 s/p 偏振。你将学会设置斜入射条件、编写双波段目标，并用优化结果判断分光性能。

阅读前提：建议先完成用透明材料做镜子：设计 99% DBR 高反镜，熟悉周期结构和 R/T 光谱。

如果你已经熟悉斯涅尔定律、s/p 偏振和斜入射薄膜，可跳过基础推导，直接进入双波段优化。

波段	目标	验收量
450–520 nm	反射蓝绿光	平均反射率尽量高
521–619 nm	允许光谱转换	不设置目标
620–700 nm	透过红光	平均透射率尽量高

斜入射改变光学厚度

光进入第 $i$ 层后的传播角由斯涅尔定律决定：

n_0\sin\theta_0=n_i\sin\theta_i .

式中， $n_0$ 与 $n_i$ 分别为入射介质和第 $i$ 层的折射率， $\theta_0$ 为外部入射角， $\theta_i$ 为层内折射角，角度均相对于法线测量。该层的单程相位厚度为

\delta_i=\frac{2\pi n_i d_i\cos\theta_i}{\lambda} .

式中， $\delta_i$ 为相位厚度， $d_i$ 为物理厚度， $\lambda$ 为真空波长，其余符号同上。入射角增大时， $\cos\theta_i$ 改变，原本在法向入射下的四分之一波条件会漂移；同时 s、p 偏振具有不同的界面反射系数，因此 45° 设计必须分别检查两种偏振。

从六对周期结构开始

初始结构使用 $(HL)^6$ ：TiO₂ 56 nm / MgF₂ 100 nm 重复六次，下方为 1 mm 非相干玻璃基底。只把两种周期厚度作为共享变量，可以先学习目标之间的取舍，而不必同时管理十二个独立厚度。

共享变量	初始值	允许范围	最优值
TiO₂ 高折射率层	56 nm	25–80 nm	25.000 nm
MgF₂ 低折射率层	100 nm	70–140 nm	137.618 nm

优化结束后点击 Apply to Structure，返回 Structure 页确认层组中的两种厚度已更新，同时保持 Repeat Count 为 6。

45 度二向色分光镜的 Structure 页面，显示六对 TiO2 MgF2 周期和优化后的共享厚度 — 图 1｜`Structure` 页中的六对二向色周期结构

点击 Edit Group，确认 Repeat Count 为 6，组内第一层为 25.000 nm TiO₂、第二层为 137.618 nm MgF₂。图中厚度字段保留软件显示精度，预览区会使用更完整的内部数值计算总厚度。

二向色分光镜的 Edit Layer Group 对话框，显示六次重复的优化 TiO2 MgF2 周期、厚度与折射率 — 图 2｜`Edit Group` 中优化后的 TiO₂/MgF₂ 周期单元

在 Optics 页设置 400–750 nm、1 nm 步长、45° 入射和未偏振光。软件用 p 偏振占比 pRatio 表示偏振混合：0 为纯 s，1 为纯 p，0.5 为 s/p 等权平均。本次先用 0.5 评估未偏振性能，并启用 Reflectance 与 Transmittance。

二向色分光镜的 Optics 页面，显示 400 到 750 nm、45 度入射和未偏振设置 — 图 3｜45° 二向色分光镜的 `Optics` 设置

把规格写成两个目标

在 Optimizer 中加入两个等权目标：

450–520 nm、5 nm 步长、45°、未偏振条件下，最大化平均 Reflectance；
620–700 nm、5 nm 步长、45°、未偏振条件下，最大化平均 Transmittance。

两个目标必须使用相同角度与偏振定义。否则优化器会同时处理两套不同使用条件，得到的折中结果无法对应实际器件。

二向色分光镜 Optimizer 页面，显示蓝绿反射和红光透射目标以及两种共享厚度变量 — 图 4｜`Optimizer` 中的双波段目标与共享厚度变量

算法选择 Nelder–Mead，最大计算次数设为 280，初始单纯形比例设为 0.08。本次真实优化在 102 次目标计算后收敛。报告中的 5 nm 采样平均值为蓝绿反射 91.508%、红光透射 90.678%；应用最优厚度后，再用 1 nm 步长完成最终验收。

二向色分光镜的 Nelder-Mead 算法设置和计算预算 — 图 5｜二向色优化的 Nelder–Mead 算法设置

未偏振结果

1 nm 正向计算得到 450–520 nm 平均反射率 91.824%，该波段最低值为 75.787%，位于 520 nm；620–700 nm 平均透射率为 90.915%，最低值为 76.209%，位于 620 nm。两个最低值都落在过渡区边缘，符合光谱从反射带向透射带转换的形状。

45 度二向色分光镜的未偏振反射率结果页，显示蓝绿高反射区 — 图 6｜45° 未偏振条件下的 `Reflectance` 结果

45 度二向色分光镜的未偏振透射率结果页，显示红光高透射区 — 图 7｜45° 未偏振条件下的 `Transmittance` 结果

初始结构已经很会反射蓝绿光，但红光透射不足。优化器牺牲一部分蓝绿反射余量，换取显著更高的红光透射率。

二向色分光镜优化前后蓝绿平均反射率和红光平均透射率的对比 — 图 8｜优化前后的双波段平均性能

设计	平均 $R$ ，450–520 nm	平均 $T$ ，620–700 nm	$R(500\ \mathrm{nm})$	$T(650\ \mathrm{nm})$
初始 56/100 nm	99.084%	59.676%	—	—
最优 25.000/137.618 nm	91.824%	90.915%	90.052%	89.245%

分别验收 s 与 p 偏振

未偏振平均值可能掩盖两种偏振的差异。保持结构、波长和 45° 入射角不变，把 pRatio 分别改为 0 和 1，再各运行一次。

偏振	平均 $R$ ，450–520 nm	波段最低 $R$	平均 $T$ ，620–700 nm
s	98.820%	96.568%	84.763%
p	84.828%	55.005%	97.067%
未偏振平均	91.824%	75.787%	90.915%

该结果满足本教程的未偏振平均目标，但它不是非偏振分光镜。p 偏振在蓝绿波段边缘明显变弱，s 偏振的红光透射也低于未偏振平均值。若应用要求任意偏振都满足同一阈值，应把 s 与 p 分别写成优化目标，并允许更多独立膜厚变量。

TiO₂ 最优厚度正好达到 25 nm 下限，说明搜索仍希望沿更薄方向改进。下一轮设计可以先把下限适度放宽；若受到最小可沉积厚度限制，则应保留 25 nm，并把十二层从两个共享变量逐步解锁为独立或分组变量。变量触边不是计算失败，而是在告诉设计者当前结构自由度和制造约束之间的矛盾位置。

常见错误与处理顺序

现象	高概率原因	处理
光谱与法向 DBR 几乎相同	目标或正向计算仍使用 0°	同时核对 `Optics` 和两个优化目标的 45° 设置
平均值很好但某一偏振不合格	只验收了 `pRatio=0.5`	分别运行纯 s 与纯 p，并记录波段最低值
过渡区很宽	只有两个共享厚度变量	增加独立变量，再限制最小厚度和总层数
最优值贴住边界	变量范围或制造约束主导结果	判断边界能否放宽；不能放宽时增加其他结构自由度

工程化时，应使用真实 n、k 色散、目标基底、沉积误差和实际光束角度分布重新计算全部验收指标。

← 返回教程目录 · 下一篇：全向反射镜案例